萤石云破解ID哪里有

 本文来纪念《电能源学》中的电势的两种多级伸开以及电势的球谐函数伸开的联系践诺 ， 就当温习一波了 .

1. 多元函数的Taylor伸开

 多极伸开的表面基础其实便是性质充分细致的函数的Taylor伸开， 一维的Taylor伸开是咱们熟知的:

不外在电能源学当中， 咱们碰到的主如果标量值多元函数或者矢量值多元函数以至于张量值多元函数. 这里咱们措置的是电势的多极伸开， 因此只需要研究第一种情况即可.

 咱们熟知的照旧一元函数的Talor级数， 因此最当然的意见照旧用一元函数去谋略多元函数. 是以咱们但愿找到一个一元函数， 使得在某种条款下给出的效果便是， 而况咱们但愿获得的是函数在点的一个邻域内恣意点处的值， 虽然咱们已知的是函数在处的性质. 这就要用到一个范例的时刻了: 试验和的凸组合， 这个组合偶合在处给出， 而在处给出， 表征的其实是和这两点所连直线， 如果， 则便是这两点所成线段(如果咱们考中的是一个球形邻域， 则球内恣意小数与球心的连线上的点势必在邻域内). 咱们构造补助函数如下:

于是

严防咱们已知的是在处的性质， 因此咱们应该将在处进行伸开， 即

然后按照上头提到的， ， 于是

于是咱们只须狡计的各阶导数即可. 刻下严防到咱们有重量伸开式

其中是标的的单元矢量. 令， 则

刻下， 进而

严防到依旧是的函数， 于是咱们接下来获得

依此类推， 最终获得

将上头的式子再行改写一下， 令， 然后引入秀美

则有

接下来在上式双方咱们令， 此时

这是因为偏微分是对函数体式求的微分， 因此咱们不错变更偏微分的求导对象， 然后保证变更前后的点一致即可， 变更前是， 即， 这便是. 说七说八， 咱们不错获得多元函数的Taylor伸开式为

另外， 咱们还不错严防到底下这个恒等式:

这是因为左边对的整个组合体式乞降的时刻势必会出现类似项， 比如说且函数为元函数时就有， ， 和四种可能， 而中间两种因为函数性质细致(至少一语气)， 因此相配， 这就给出一个统共， 它其实便是二项式伸开的效果. 其他情况依此类推.

 接下来严防到

因此咱们还不错将多元函数的Taylor伸开写成

2. 电势的多极伸开

  家喻户晓， 单个电荷在空间中处的电势为

其中是电荷所在的空间位置， 即源点， 而称作场点. 刻下假定空间中电荷踱步不是麇集在小数， 而是弥漫踱步， 呈一定的电荷密度， 则咱们老是不错在源点近邻考中一小块区域， 这块区域的电荷量为， 它产生的电势为

然后字据电势叠加旨趣， 总的电势便是上式的积分:

这里的积分遍历有界说的场所， 或者说. 刻下试验函数

令， 然后对

进行伸开， 咱们获得

迷水商城

刻下取， 于是， 最终咱们就有

刻下将这个抒发式代入到前边电势的积分抒发式当中， 就有

其中

刻下严防积分是对进行的， 因此不错将所相对于的项建议到积分外边去， 这就不错在级伸开式

这个抒发式中索取出这么的一项:

研究到数学中将形如

称作在处的阶矩， 上头索取出的抒发式就暗示一种电矩. 比如说电零阶距便是

暗示系统的总电荷， 由此不错看到电势的零级伸开即为

这标明零级伸开的物理意思是将弥漫在空间的电荷集聚到原点， 试验其手脚点电荷产生的电势.

 电二阶矩字据上头的写法就应该是

为了看出其物理含义， 咱们简化一下问题， 假定体系是电中性的， 换言之， 可是咱们老是不错试验

这三个区域各自的积分效果(虽然， 咱们但愿这三个区域齐是可测的， 这要求的性质富饶细致， 比如说是可测函数)， 字据界说， 上的积分恒等于零. 而欺诈积分中值定理， 存在使得

因为总电荷， 因此上靠近的积分大小相配， 仅仅标记违反. 咱们令上的积分效果为， 则上式最终给出的效果便是， 从而该体系的电二阶矩为

迷水商城

记， 这暗示一个由负电荷指向正电荷的标的矢量. 此时， 这恰是电磁学中宣战到的电偶极矩， 换言之， 上头界说的电二阶矩其实便是电偶极矩. 如果将等量异号的一双电荷称作电偶极子， 则上头的狡计标明一级伸开的物理意思是将带电体系理解出一个正电中心和一个负电中心， 试验这对电偶极子产生的电势. 可是值得指出的是， 只好体系为电中性的时刻这个诠释才是对的， 当体系不具备电中性的时刻， 咱们令， 其中被界说为在上的积分， 然后

这里是电荷量实足值大的那方相较于多出来部分(带标记)， 的正负号取决于对应的标记. 这个效果标明如果带电体系不是电中性的时刻电二阶矩就会多出一项， 这项会和坐标原点的考中联系. 可是习尚上咱们照旧将此时的称作电偶极矩， 尽管它没法完全匹配电偶极子的这个图像， 因为老是有些电荷没法匹配上.

 电二阶距从界说来看是一个型张量， 它的重量为

迷水商城迷水商城

它的物理意思咱们不错这么进行调处， 将上式改写为

这个改写在数学上有很大问题， 可是具备启发性， 因为括号内部的那一项不错调处为这个标的的某个偶极子的电偶极矩， 然后咱们将一双电偶极子绑定在通盘， 试验了不同的电偶极子之间的偶极作用， 于是咱们就将其称作电四极矩， 即偶极子的偶极矩. 两对偶极子需要四个电荷， 这四个电荷就组成了电四极子. 依此类推， 电三阶矩便是一双电四极子的偶极矩， 需要八个电荷， 组成电八极子， 对应电八极矩. 更一般的， 电阶矩便是一双电极子产生的偶极矩， 即电极距.  电极距是一个型张量.

 说七说八， 咱们获得下述论断:

电势的多极伸开中， 第级伸开暗示电极子对应的电极距产生的电势. 多极伸开其实便是按照电荷对电势孝顺进行的理解.

 一般而言， 物理上电四极子就仍是不错给出充分好的近似了， 因此很少会用到更高等的近似(至少教科书上不会).

 容易看到， 当体系内电荷踱步对于原点是对称的时刻， 正电中心和负电中心齐会麇集于原点， 从而不产生电偶极矩， 因此电偶极矩是电荷踱步偏离原点对称性的效果. 类似地， 如果体系内电荷踱步是球对称的， 那么在的抒发式中咱们只需严防到被积函数对各自方针是奇函数， 于是积分是零. 这标明电四极矩是电荷踱步偏离球对称性的效果.

 除此之外， 还有小数需要指出的是在狡计积分

的时刻， 咱们能够应该对整个被积函数进行伸开， 可是上头咱们却仅仅对进行了伸开， 这能够是因为并不是一个实验上容易测量的东西， 是以它的各阶导数也很不好措置. 如果仅仅对伸开， 从上头就能看到， 咱们会将电荷踱步封装到一个统共当中， 于是不错通过实验获得的电势对于进行拟合， 从而获得这些统共， 这不会波及不好测量的细节.

迷水商城3. 电四极矩的性质以及重界说

 当先从界说启航， 不错获得电四极矩张量是一个对称张量， 即.  接下来咱们对其进行重界说来让其性质更好意思瞻念小数. 研究问题的起点在于咱们不但愿发生变化， 换言之， 咱们但愿

是不变的， 其中

咱们试验问题的起点是一个恒等变换: 给一个式子加上零效果不变. 而零在那处呢? 当先严防到恒等式

迷水商城

这里是一个标量值函数而是一个矢量值函数. 另外是另一个论断:

这是因为

于是.

然后咱们用上头的恒等式来试验这个式子:

刻下代入， 并严防到

于是咱们最终看到

或者写成

这么一来咱们不错在中加入这么一个恒为零的项. 这个式子和的抒发式仍是相当相似了， 咱们给加上上式的倍数不会篡改蓝本的电势的效果. 刻下严防一下， 上头这个式子其实最终获得的便是这个张量算子的迹， 这请示咱们试验的迹， 而

咱们不难严防到， 如果给上头的伸开式乘以一个加到蓝本的抒发式中， 就能获得.

不外研究到的迹为， 更好的作念法是将其归一化一下酿成， 即

这就引入了电四极矩的范例界说:

在这个界说下， 咱们自然地获得

即是一个对称无迹张量， 这也意味着只好5个孤独重量(因为对称性有六个孤独重量， 无迹条款又扬弃一个开脱度， 最终剩下五个).

 从原始界说到老例界说的经过一般教科书是略过的， 其实这里不错看到， 出刻下电四极矩中的阿谁统共其实便是为了保证最终的效果是零迹的， 从而在不亏损信息(电势)的条款下给出最多的对称性.

4. 电势的球谐函数伸开

 在第二节中先容的是电势通过笛卡尔坐标进行伸开， 可是咱们表面上的伸开表情不啻这一种， 球坐标系亦然常用的坐标系之一. 因此， 咱们还有必要谋略一下球坐标系下的多极伸开体式. 无用置疑， 这会和球谐函数联系. 家喻户晓， 电势满足Laplace方程:

迷水商城

这个方程一朝出刻下球坐标系下就少不了球谐函数登场. 这里也顺带温习一下数学物理方程. 当先写出Laplace算子的抒发式:

然后设， 代入上式获得

然后等式双方同期乘以， 获得

刻下分理出第一个变量， 上式第一项仅仅的函数， 而剩下两项不含， 因此移项后相配意味着等于归并个数， 即

迷水商城

以及

迷水商城

第一个式子伸开后即为

令， 则， 进而

将其代入前边的式子， 获得

这是一个二阶常统共微分方程， 它的通解为

代入， 即有

这里是特征根， 满足和. 于是不错取， 此时， ， 于是

在的假定下， 蓝本的角向方程写成

刻下双方同期乘以获得

一样的情理， 等式双方要想开导， 就必须等于归并个常数， 故有

它的解为. 最终剩下对于的方程

令， 则

于是上头的方程酿成

迷水商城

欺诈恒等式， 上式酿成

这是连带勒让德方程， 它的解是勒让德多项式， 于是获得的解为

正品迷水

最终获得蓝本方程的通解为

这里是伸开统共. 接下来取归一化球谐函数

则上头电势的通解不错写成

这里统共进行了再行界说. 如果要求满足一定的规模条款， 比如， 那么电势就要写成

迷水商城

这里又一次再行设定了统共， 方针是和前边第二节的效果进行比照.  类似地， 如果， 那么电势的体式应该为

这里咱们只关注第一种体式， 即无尽远方趋于零规模下的效果， 这个时刻咱们看到项的统共为

而在第二节中咱们看到多极伸开后效果是的幂级数， 且对应的便是电极子， 比如说时是电单极子， 时是电偶极子， 时是电四极子. 对应一下咱们就能看到， 项对应的其实便是电极子. 而况欺诈球谐函数咱们能很容易调处电多极子的图像:

图片

球谐函数图像

比如的单极子便是一个电荷对称踱步的球， 的偶极子是正负电荷中心不重合导致的， 的电四极子便是两个等量异号偶极子， blablabla

 不外按照上述想路获得的电势多极伸开的图像莫得笛卡儿坐标系下的图像清亮， 二者相比咱们本事相比清亮地看出伸开项的物理意思.  除了这种相比表情之外， 咱们依旧不错从

迷水商城迷水商城

入辖下手进行狡计. 此时咱们照旧对

进行伸开. 不外此时是对它按照球谐函数进行伸开， 这需要用到球谐函数的一个性质:

定理: 设有两个位置矢量和， 它们的球坐标辞别为和， 它们之间的夹角为， 则

其中， 这不错由得出. 是连带勒让德多项式中时的效果.

另外需要用到的一个畸形性质， 它是轴对称的， 不错用勒让德多项式进行伸开:

然后代入上头定理的效果， 获得

然后代入电势叠加抒发式中并设， 获得

迷水商城

这里的统共称作多极矩， 对于给定的， 有种承袭， 它其实就对应了第二节中给出的极子的孤独重量， 不外两个孤独重量之间不是径直相配的， 而是以某种组合的体式给出. 最主要的是是不错取复值的， 而电极距张量为实张量.

5. 参考贵府

(1) 电能源学， by 郭硕鸿

(2) 经典电能源学， by John David Jackson

(3) 电能源学导论 ， by David J.Grimths

您的点赞与关注是咱们镂刻赓续的能源:

本站仅提供存储做事，整个践诺均由用户发布，充电宝针孔摄像头哪里买如发现存害或侵权践诺，请点击举报。